每日一题[1965]单位

如图所示，分别作正四面体 $P-ABC$ 的平行于四个面的截面，使得 $P-ABC$ 的四个面都被截成正六边形，截去 $4$ 个小四面体后得到的多面体记为 $G$，则四面体 $P-ABC$ 与多面体 $G$ 的表面积比为_______；体积比为_______．

答案    $\dfrac 97$；$\dfrac{27}{23}$．

解析    根据题意，所有截面与棱的交点均为对应棱的三等分点．设被截去的小正四面体的底面面积为 $S$，体积为 $V$，则四面体 $P-ABC$ 的表面积为 $36S$，体积为 $27V$；多面体 $G$ 的表面积为 $28S$，体积为 $23V$．因此所求表面积之比为 $\dfrac 97$，体积之比为 $\dfrac{27}{23}$．