每日一题[1962]进阶放缩

已知函数 $f(x)=(x-1){\rm e}^{x}-\dfrac{a}{2}{\rm e}^{2 x}+a x$ 只有一个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$(-\infty,0]\cup\left[\dfrac 12,+\infty\right)$

B．$(-\infty,0]\cup\left[\dfrac 13,+\infty\right)$

C．$(-\infty,0]$

D．$\left(-\infty,-\dfrac 13\right]\cup\left[0,+\infty\right)$

答案    A．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=x{\rm e}^x-a\left({\rm e}^{2x}-1\right),$$ 于是当 $a\leqslant 0$ 时，$x=0$ 为 $f'(x)$ 的唯一变号零点，符合题意．接下来考虑 $a>0$ 的情形．令 ${\rm e}^x=t$，问题即研究关于 $t$ 的方程 $$\ln t -a\left(t-\dfrac 1t\right)=0$$ 的变号零点问题．这是我们熟知的进阶放缩，当 $a\in\left(0,\dfrac 12\right)$ 时，该方程有三个变号零点（其中一个为 $t=1$，另外两个互为倒数）；当 $a\in\left[\dfrac 12,+\infty\right)$ 时，该方程有唯一变号零点 $t=1$．

综上所述，所求实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]\cup\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．