每日一题[1956]引入参数

已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-9=xy$，则 $2x^2+y^2$ 的最大值为_______．

答案    $18+6\sqrt 3$．

解析    根据题意，$x^2+y^2-xy=9$，于是有

$$\dfrac{2x^2+y^2}9=\dfrac{2x^2+y^2}{x^2+y^2-xy}=\dfrac{2t^2+1}{t^2+1-t},$$ 其中 $t=\dfrac xy$，设右侧代数式为 $m$，整理得 $$(m-2)t^2-mt+m-1=0,$$ 判别式 $$\Delta=m^2-4(m-2)(m-1)=-3m^2+12m-8\geqslant 0\implies \dfrac{6-2\sqrt 3}2\leqslant m\leqslant \dfrac{6+2\sqrt 3}3 ,$$ 因此所求代数式的最大值为 $9\cdot \dfrac{6+2\sqrt 3}3 =18+6\sqrt 3$．