每日一题[1953]阿圆

已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $c\cos B+b\cos(A+B)=0$，$BD$ 是 $AC$ 边上的中线，且 $BD=1$，则 $\triangle ABC$ 面积的最大值是_______．

答案    $\dfrac 23$．

解析    根据题意，有

$$c\cos B+b\cos(A+B)=0\implies c\cos B=b\cos C,$$ 根据正弦定理可得 $$\sin C\cos B=\sin B\cos C\implies \tan C=\tan B\implies B=C,$$ 如图．

根据题意，有 $\dfrac{AB}{AD}=2$，根据阿波罗尼斯圆的性质，点 $A$ 的轨迹是圆，记圆心为 $O$，半径为 $r$，则

$$\dfrac{BO}{r}=\dfrac{r}{DO}=2\implies l=BO-DO=r\left(2-\dfrac 12\right)\implies r=\dfrac23,$$ 从而 $\triangle ABD$ 面积的最大值为 $\dfrac 12\cdot BD\cdot r=\dfrac 13$，进而 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\dfrac 23$．