每日一题[1948]三角换元

已知双曲线 $C_1:x^2-y^2=1$，曲线 $C_2:\dfrac xy+\dfrac yx=x^2-y^2$，则曲线 $C_1,C_2$ 的交点个数是[[nn]]，原点 $O$ 与曲线 $C_2$ 上的点之间的距离的最小值为_______．

答案    $0$；$2$；

解析    由于 $\dfrac xy+\dfrac yx\in(-\infty,-2]\cup [2,+\infty)$，因此曲线 $C_1,C_2$ 的交点个数为 $0$．设 $C_2$ 上一点为 $(\theta:r)$（$r>0$），则

$$\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}+\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta\implies r^2=\dfrac{4}{\sin4\theta}\geqslant 4,$$ 当 $\theta=\dfrac{\pi}8$ 时等号成立，因此 $r$ 的最小值为 $2$．