每日一题[1946]正交分量

对于正整数 $n$ 与实数 $a_0,a_1,\cdots,a_n$，记

$$f_n(x)=\sin (x+a_0)+\dfrac{\sin (x+a_1)}{2}+\cdots+\dfrac{\sin (x+a_n)}{2^n}.$$

1、若 $a_0=0$，$a_1=\dfrac{\pi}3$，求 $f_1(x)$ 的取值范围．

2、当 $n=2020$ 时，判断是否存在实数 $a_0,a_1,\cdots,a_{2020}$ 使得 $f_{2020}(1)=f_{2020}(2)=0$ 成立．若存在，请求出任意一组 $a_0,a_1,\cdots,a_{2020}$ 的值；若不存在，请说明理由．

解析

1、根据题意，有 $f_1(x)=\sin x+\dfrac 12\sin\left(x+\dfrac{\pi}3\right)$，也即

$$f_1(x)=\dfrac 54\sin x+\dfrac{\sqrt 3}4\cos x,$$ 其取值范围是 $\left[-\dfrac{\sqrt 7}2,\dfrac{\sqrt 7}2\right]$．

2、根据题意，有

$$f_n(x)=\sum_{k=0}^n\dfrac{\sin (x+a_k)}{2^k}=\sin x\cdot \sum_{k=0}^n\dfrac{\cos a_k}{2^k}+\cos x\cdot \sum_{k=0}^n\dfrac{\sin a_k}{2^k},$$ 设 $C= \sum_{k=0}^n\dfrac{\cos a_k}{2^k}$，$S=\sum_{k=0}^n\dfrac{\sin a_k}{2^k}$，则当 $C,S$ 不同时为 $0$ 时，有 $$f_n(x)=\sqrt{C^2+S^2}\cdot \sin (x+\varphi),$$ 其中 $\varphi$ 的终边过点 $(C,S)$．此时 $f_n(x)$ 的零点等距排列，间隔为 $\pi$，与题意不符． 当 $C,S$ 同时为 $0$，则 $$\begin{cases} -\cos a_0=\sum_{k=1}^n\dfrac{\cos a_k}{2^k},\\ -\sin a_0=\sum_{k=1}^n\dfrac{\sin a_k}{2^k},\end{cases}\implies \left(\sum_{k=1}^n\dfrac{\cos a_k}{2^k}\right)^2+\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{\sin a_k}{2^k}\right)^2=1,$$ 由柯西不等式，有 $$\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{\cos a_k}{2^k}\right)^2\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{\cos^2a_k}{2^k}\cdot\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k}}\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{\cos^2a_k}{2^k},$$ 类似的，有 $$\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{\sin a_k}{2^k}\right)^2\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{\sin^2a_k}{2^k}\cdot\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k}}\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{\sin^2a_k}{2^k},$$ 两式相加，有 $$\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{\cos a_k}{2^k}\right)^2+\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{\sin a_k}{2^k}\right)^2\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^k}<1,$$ 因此不存在符合题意的 $a_0,a_1,\cdots,a_{2020}$．