每日一题[1921]冻结变量

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，异于原点的 $A,B,C$ 三点满足 $OA^2+2OB^2+3OC^2=6$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_______．

答案    $\dfrac 32$．

解析    我们熟知，若平面上 $M,N$ 为两定点，则使得 $\lambda PM^2+\mu PN^2$ 为常数（$\lambda,\mu>0$ 且均为常数）的点 $P$ 的轨迹是圆．这就意味着固定 $A,B$，则要使 $\triangle ABC$ 面积最大，则有 $OC\perp AB$．类似的，可得 $OA\perp BC$ 且 $OB\perp CA$，因此 $O$ 必然为 $\triangle ABC$ 的垂心．

设 $O$ 在 $AB$ 上的投影为 $H$，$HA=a$，$HB=b$，$OC=c$，且 $OH=h$，则

$$\left(a^2+h^2\right)+2\left(b^2+h^2\right)+3c^2=6\iff a^2+2b^2+3h^2+3c^2=6,$$ 此时 $\triangle ABC$ 的面积 $$\begin{split} S&=\dfrac 12(a+b)(c+h)\\ &\leqslant \dfrac 12\cdot \sqrt{\left(1+\dfrac12\right)\left(a^2+2b^2\right)}\cdot \sqrt{\left(\dfrac 13+\dfrac 13\right)\left(3h^2+3c^2\right)}\\ &=\dfrac12\sqrt{\left(a^2+2b^2\right)\left(3h^2+3c^2\right)}\\ &\leqslant \dfrac 32,\end{split}$$ 等号当 $$\begin{cases} a=2b,\\h=c,\\ a^2+2b^2=3h^2+3c^2=3,\end{cases}\iff \begin{cases} a=\sqrt 2,\\ b=\dfrac{\sqrt 2}2,\\ h=c=\dfrac{\sqrt 2}2\end{cases}$$ 时取得，因此 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为 $\dfrac 32$．

备注    一般的，若 $\dfrac{OA^2}{a}+\dfrac{OB^2}{b}+\dfrac{OC^2}{c}=1$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为 $\dfrac14\sqrt{ab+bc+ca}$．

另法    设 $OC=t$，$AB=m$，重新建立平面直角坐标系，使 $A(0,0)$，$B(3m,0)$，设 $O(x,y)$，则

$$OA^2+2OB^2=6-3t^2\iff x^2+y^2+2\big((x-3m)^2+y^2\big)=6-3t^2,$$ 即 $$(x-2m)^2+y^2=2-t^2-2m^2,$$ 因此 $\triangle ABC$ 的面积 $$\begin{split} S&\leqslant \dfrac 12\cdot 3m\cdot \left(\sqrt{2-t^2-2m^2}+t\right)\\ &\leqslant \dfrac 32m\cdot \sqrt {2(2-2m^2)}\\ &\leqslant 3\sqrt{m^2(1-m^2)}\\ &\leqslant \dfrac 32,\end{split}$$ 等号当 $OC\perp AB$，$t^2=1-m^2$，$m^2=\dfrac 12$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac 32$．