每日一题[1896]分解与同余

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=8a_n-7$，且 $\{a_n\}$ 中有且只有一个素数，写出 $a_1$ 的两个可能取值．

答案    $2,7$．

解析    根据题意，有 $a_{n+1}=(a_1-1)\cdot 8^n+1$，于是当 $a_1=2$ 时，有 $$a_{n+1}=2^{3n}+1=\left(2^n+1\right)\cdot \left(2^{2n}-2^n+1\right),$$ 当 $a_1=7$ 时，有 $$a_{n+1}=6\cdot 8^n+1\equiv -1\cdot 1^n+1=0\pmod 7,$$ 因此 $a_1=2,7$ 时，数列 $\{a_n\}$ 除 $a_1$ 外均为合数．