每日一题[1892]对称换元

设 $a>b>0$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，$A_n=\dfrac{1}{n+1}\left(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\cdots+ab^{n-1}+b^n\right)$，$B_n=\left(\dfrac{a+b}2\right)^n$．

1、求证：$A_2>B_2$．

2、比较 $A_n,B_n$ 的大小，并证明．

解析

1、当 $n=2$ 时，有 $A_2=\dfrac 13(a^2+ab+b^2)$，$B_2=\dfrac 14(a^2+2ab+b^2)$，于是

$$A_2-B_2=\dfrac{4(a^2+ab+b^2)-3(a^2+2ab+b^2)}{12}=\dfrac{(a-b)^2}{12}>0,$$ 命题得证．

2、设 $\dfrac{a+b}2=x$，$\dfrac{a-b}2=y$，则

$$\begin{cases} A_n=\dfrac{(x+y)^{n+1}-(x-y)^{n+1}}{2(n+1)y},\\ B_n=x^n,\end{cases}$$ 而 $$A_n=\dfrac{\mathop{\rm C}\nolimits_ {n+1}^1x^ny+\mathop{\rm C}\nolimits_{n+1}^3x^{n-2}y^3+\cdots}{(n+1)y}> \dfrac{\mathop{\rm C}\nolimits_{n+1}^1x^ny}{(n+1)y}=x^n=B_n.$$

备注

几何意义如下．设函数 $f(x)=x^{n+1}$，则

$$A_n>B_n\iff \dfrac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}>(n+1)\cdot \left(\dfrac{a+b}2\right)^n,$$ 设 $A(a,f(a))$，$B(b,f(b))$，则左边为直线 $AB$ 的斜率，右边为 $f(x)$ 在 $x=\dfrac{a+b}2$ 处的切线斜率．