每日一题[1863]累次求极值

已知函数 $f(x)=\dfrac a2x^2-x(\ln x-b-1)$（$a,b\in\mathbb R$）．

1、当 $b=-1$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的零点个数．

2、若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，求 $2a+b$ 的最小值．

解析

1、此时 $f(x)=x^2\left(\dfrac a2-\dfrac{\ln x}{x}\right)$，于是当 $a\leqslant 0$ 或 $a=\dfrac{2}{\rm e}$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $1$；当 $0<a<\dfrac{2}{\rm e}$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $2$；当 $a>\dfrac{2}{\rm e}$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $0$．

2、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=ax-\ln x+b,$$ 根据题意，有 $$\forall x>0,ax-\ln x+b\geqslant 0,$$ 显然 $a>0$，否则 $$ax-\ln x+b\leqslant -\ln x+b,$$ 当 $x>{\rm e}^b$ 时，不符合题意，进而 $$\forall x>0,2a+b\geqslant 2a+\ln x-ax,$$ 而利用导数可得 $2a+\ln x-ax$ 的最小值在 $x=\dfrac 1a$ 处取得，为 $2a-\ln a-1$，因此有 $$2a+b\geqslant 2a-\ln a-1\geqslant \ln 2,$$ 等号当 $a=\dfrac 12$，$b=\ln x-ax=\ln 2-1$ 时取得，因此 $2a+b$ 的最小值为 $\ln 2$．