每日一题[1856]抛物线克星之一

过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点作直线 $l$ ，交抛物线于 $P,Q$ 两点，以线段 $PQ$ 为直径的圆 $M$ 交 $x$ 轴于 $A,B$ 两点，交 $y$ 轴于 $C,D$ 两点，则 $\dfrac{AB^2}{CD^2}$ 的最小值为（）

A． $\dfrac{11}4$

B． $\dfrac52$

C． $\dfrac{2\sqrt{13}-1}4$

D． $\dfrac{\sqrt{13}-1}2$

答案 D．

解析设 $P(4a^2,4a)$ ， $Q(4b^2,4b)$ ，则根据抛物线的平均性质，有 $ab=-\dfrac 14$ ，此时圆 $M$ 的方程为

(x - 2 a^{2} - 2 b^{2})^{2} + (y - 2 a - 2 b)^{2} = 4 (a^{2} - b^{2})^{2} + 4 (a - b)^{2},

$(x-2a^2-2b^2)^2+(y-2a-2b)^2=4(a^2-b^2)^2+4(a-b)^2,$ 设

A (x_{1}, 0)

$A(x_1,0)$ ，

B (x_{2}, 0)

$B(x_2,0)$ ，

C (0, y_{1})

$C(0,y_1)$ ，

D (0, y_{2})

$D(0,y_2)$ ，则

x_{1}, x_{2}

$x_1,x_2$ 是关于

x

$x$ 的方程

(x - 2 a^{2} - 2 b^{2})^{2} = 4 (a^{2} - b^{2})^{2} - 16 a b

$(x-2a^2-2b^2)^2=4(a^2-b^2)^2-16ab$ 的两个根，而

y_{1}, y_{2}

$y_1,y_2$ 是关于

y

$y$ 的方程

(y - 2 a - 2 b)^{2} = 4 (a - b)^{2} - 16 a^{2} b^{2}

$(y-2a-2b)^2=4(a-b)^2-16a^2b^2$ 的两个根．因此

\frac{A B^{2}}{C D^{2}} = \frac{4 (a^{2} - b^{2})^{2} - 16 a b}{4 (a - b)^{2} - 16 a^{2} b^{2}} = \frac{4 a^{4} + 4 b^{4} + \frac{7}{2}}{4 a^{2} + 4 b^{2} + 1},

$\dfrac{AB^2}{CD^2}=\dfrac{4(a^2-b^2)^2-16ab}{4(a-b)^2-16a^2b^2}=\dfrac{4a^4+4b^4+\dfrac 72}{4a^2+4b^2+1},$ 设

a^{2} + b^{2} = t

$a^2+b^2=t$ ，则

a^{4} + b^{4} = t^{2} - 2 a^{2} b^{2} = t^{2} - \frac{1}{8},

$a^4+b^4=t^2-2a^2b^2=t^2-\dfrac 18,$ 于是

\frac{A B^{2}}{C D^{2}} = \frac{4 t^{2} + 3}{4 t + 1} = \frac{1}{4} (4 t + 1) + \frac{\frac{13}{4}}{4 t + 1} - \frac{1}{2} ⩾ \frac{\sqrt{13} - 1}{2},

$\dfrac{AB^2}{CD^2}=\dfrac{4t^2+3}{4t+1}=\dfrac14(4t+1)+\dfrac{\dfrac{13}4}{4t+1}-\dfrac 12\geqslant \dfrac{\sqrt{13}-1}2,$ 等号当

t = \frac{\sqrt{13} - 1}{4}

$t=\dfrac{\sqrt {13}-1}4$ 时取得，因此所求最小值为

\frac{\sqrt{13} - 1}{2}

$\dfrac{\sqrt{13}-1}2$ ．

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