每日一题[1856]抛物线克星之一

过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点作直线 $l$,交抛物线于 $P,Q$ 两点,以线段 $PQ$ 为直径的圆 $M$ 交 $x$ 轴于 $A,B$ 两点,交 $y$ 轴于 $C,D$ 两点,则 $\dfrac{AB^2}{CD^2}$ 的最小值为(       )

A.$\dfrac{11}4$

B.$\dfrac52$

C.$\dfrac{2\sqrt{13}-1}4$

D.$\dfrac{\sqrt{13}-1}2$

答案    D.

解析    设 $P(4a^2,4a)$,$Q(4b^2,4b)$,则根据抛物线的平均性质,有 $ab=-\dfrac 14$,此时圆 $M$ 的方程为\[(x-2a^2-2b^2)^2+(y-2a-2b)^2=4(a^2-b^2)^2+4(a-b)^2,\]设 $A(x_1,0)$,$B(x_2,0)$,$C(0,y_1)$,$D(0,y_2)$,则 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程\[(x-2a^2-2b^2)^2=4(a^2-b^2)^2-16ab\]的两个根,而 $y_1,y_2$ 是关于 $y$ 的方程\[(y-2a-2b)^2=4(a-b)^2-16a^2b^2\]的两个根.因此\[\dfrac{AB^2}{CD^2}=\dfrac{4(a^2-b^2)^2-16ab}{4(a-b)^2-16a^2b^2}=\dfrac{4a^4+4b^4+\dfrac 72}{4a^2+4b^2+1},\]设 $a^2+b^2=t$,则\[a^4+b^4=t^2-2a^2b^2=t^2-\dfrac 18,\]于是\[\dfrac{AB^2}{CD^2}=\dfrac{4t^2+3}{4t+1}=\dfrac14(4t+1)+\dfrac{\dfrac{13}4}{4t+1}-\dfrac 12\geqslant \dfrac{\sqrt{13}-1}2,\]等号当 $t=\dfrac{\sqrt {13}-1}4$ 时取得,因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt{13}-1}2$.

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