每日一题[1855]函数放缩

求证:${\rm e}^x-\dfrac{x^2-1}{\ln x}>0$.

解析    当 $0<x<1$ 时,欲证不等式即\[{\rm e}^x\ln \dfrac1x>1-x^2,\]而此时有 ${\rm e}^x>1+x$,且 $\ln \dfrac 1x>1-x$,命题成立. 当 $x>1$ 时,欲证不等式即\[{\rm e}^x\ln x >x^2-1,\]此时有\[{\rm e}^x\ln x>\left(1+x+\dfrac 12x^2\right)\cdot \dfrac{2(x-1)}{x+1}=(x-1)\cdot \dfrac{x^2+2x+2}{x+1}>x^2-1,\]命题成立. 综上所述原命题得证.

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