每日一题[1855]函数放缩

求证：${\rm e}^x-\dfrac{x^2-1}{\ln x}>0$．

解析    当 $0<x<1$ 时，欲证不等式即

$${\rm e}^x\ln \dfrac1x>1-x^2,$$ 而此时有 ${\rm e}^x>1+x$，且 $\ln \dfrac 1x>1-x$，命题成立． 当 $x>1$ 时，欲证不等式即 $${\rm e}^x\ln x >x^2-1,$$ 此时有 $${\rm e}^x\ln x>\left(1+x+\dfrac 12x^2\right)\cdot \dfrac{2(x-1)}{x+1}=(x-1)\cdot \dfrac{x^2+2x+2}{x+1}>x^2-1,$$ 命题成立． 综上所述原命题得证．