每日一题[1854]坐标驱动

已知直线 $l$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$ 相交于 $A,B$ 两点,若直线 $l$ 与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$,与 $y$ 轴正半轴交于点 $D$,且 $A,C,D,B$ 顺次排列,有 $|AC|=|CD|=2|DB|$,则直线 $l$ 的斜率为_______.

答案    $\dfrac{\sqrt 6}2$.

解析    设 $C(m,0)$,$D(0,n)$,则 $A(2m,-n)$,$B\left(-\dfrac m2,\dfrac 32n\right)$,直线 $l$ 的斜率 $k=-\dfrac nm$ 且 $k>0$.点 $A,B$ 在椭圆上,因此\[\begin{cases} m^2+\dfrac {n^2}2=1,\\ \dfrac{m^2}{16}+\dfrac{9n^2}{8}=1,\end{cases}\implies \dfrac{m^2+\dfrac {n^2}2}{\dfrac{m^2}{16}+\dfrac{9n^2}{8}}=1\implies \dfrac{1+\dfrac 12k^2}{\dfrac1{16}+\dfrac 98k^2}=1\implies k=\dfrac{\sqrt 6}2.\]

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