每日一题[1854]坐标驱动

已知直线 $l$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$ 相交于 $A,B$ 两点，若直线 $l$ 与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$，与 $y$ 轴正半轴交于点 $D$，且 $A,C,D,B$ 顺次排列，有 $|AC|=|CD|=2|DB|$，则直线 $l$ 的斜率为_______．

答案    $\dfrac{\sqrt 6}2$．

解析    设 $C(m,0)$，$D(0,n)$，则 $A(2m,-n)$，$B\left(-\dfrac m2,\dfrac 32n\right)$，直线 $l$ 的斜率 $k=-\dfrac nm$ 且 $k>0$．点 $A,B$ 在椭圆上，因此

$$\begin{cases} m^2+\dfrac {n^2}2=1,\\ \dfrac{m^2}{16}+\dfrac{9n^2}{8}=1,\end{cases}\implies \dfrac{m^2+\dfrac {n^2}2}{\dfrac{m^2}{16}+\dfrac{9n^2}{8}}=1\implies \dfrac{1+\dfrac 12k^2}{\dfrac1{16}+\dfrac 98k^2}=1\implies k=\dfrac{\sqrt 6}2.$$