每日一题[1853]恒成立三剑客

已知函数 $f(x)=\dfrac{m\ln x}{x+1}-\ln x+\ln (x+1)$,且对任意 $x> 0$,均有 $f(x)\geqslant 0$,则 $m$ 的取值范围是_______.

答案    $[0,1]$.

解析    根据题意,有\[\forall x>0,m\ln x \geqslant - (x+1)\ln \left(1+\dfrac 1x\right).\]一方面,当 $x>1$ 时,有\[\ln \left(1+\dfrac 1x\right)<\dfrac 1 x\implies (x+1)\ln\left(1+\dfrac 1x\right)<\dfrac{x+1}x\implies -(x+1)\ln\left(1+\dfrac 1x\right)>-2,\]于是 $m\geqslant 0$,否则当 $x>{\rm e}^{-\frac 2m}$ 时,不等式不成立. 另一方面,有\[\forall x>0,m\ln x\leqslant \left(\dfrac 1x+1\right)\ln (1+x),\]因此当 $x>1$ 时,有\[m\leqslant \left(\dfrac 1x+1\right)\dfrac{\ln(1+x)}{\ln x},\]于是 $m\leqslant 1$,否则当 $x>\dfrac{1}{\varepsilon}$ 时,有\[\dfrac 1x+1<1+\varepsilon,\]且当 $x>2^{\frac 1{\varepsilon}}$ 时,有\[\dfrac{\ln(1+x)}{\ln x}=1+\dfrac{\ln (1+x)-\ln x}{\ln x}=1+\dfrac{\ln\left(\dfrac 1x+1\right)}{\ln x}<1+\dfrac{\ln 2}{\ln x}<1+\varepsilon,\]因此当 $x>\max\left\{\dfrac1{\varepsilon},2^{\frac1{\varepsilon}}\right\}$ 时,有\[\left(\dfrac 1x+1\right)\dfrac{\ln (1+x)}{\ln x}<(1+\varepsilon)^2,\]当 $m>1$ 时,取 $\varepsilon=\sqrt m-1$ 就推出了矛盾. 最后证明 $0\leqslant m\leqslant 1$ 时符合题意.只需要证明当 $m=0$ 和 $m=1$ 时命题成立即可,$m=0$ 时显然;而当 $m=1$ 时,只需要证明\[\forall x>0,(x+1)\ln (x+1)-x\ln x\geqslant 0,\]而不等式左边为\[x\ln\dfrac{x+1}x+\ln(x+1)>0,\]命题得证. 综上所述,$m$ 的取值范围是 $[0,1]$.

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