每日一题[1853]恒成立三剑客

已知函数 $f(x)=\dfrac{m\ln x}{x+1}-\ln x+\ln (x+1)$，且对任意 $x> 0$，均有 $f(x)\geqslant 0$，则 $m$ 的取值范围是_______．

答案    $[0,1]$．

解析    根据题意，有 $$\forall x>0,m\ln x \geqslant - (x+1)\ln \left(1+\dfrac 1x\right).$$ 一方面，当 $x>1$ 时，有 $$\ln \left(1+\dfrac 1x\right)<\dfrac 1 x\implies (x+1)\ln\left(1+\dfrac 1x\right)<\dfrac{x+1}x\implies -(x+1)\ln\left(1+\dfrac 1x\right)>-2,$$ 于是 $m\geqslant 0$，否则当 $x>{\rm e}^{-\frac 2m}$ 时，不等式不成立． 另一方面，有 $$\forall x>0,m\ln x\leqslant \left(\dfrac 1x+1\right)\ln (1+x),$$ 因此当 $x>1$ 时，有 $$m\leqslant \left(\dfrac 1x+1\right)\dfrac{\ln(1+x)}{\ln x},$$ 于是 $m\leqslant 1$，否则当 $x>\dfrac{1}{\varepsilon}$ 时，有 $$\dfrac 1x+1<1+\varepsilon,$$ 且当 $x>2^{\frac 1{\varepsilon}}$ 时，有 $$\dfrac{\ln(1+x)}{\ln x}=1+\dfrac{\ln (1+x)-\ln x}{\ln x}=1+\dfrac{\ln\left(\dfrac 1x+1\right)}{\ln x}<1+\dfrac{\ln 2}{\ln x}<1+\varepsilon,$$ 因此当 $x>\max\left\{\dfrac1{\varepsilon},2^{\frac1{\varepsilon}}\right\}$ 时，有 $$\left(\dfrac 1x+1\right)\dfrac{\ln (1+x)}{\ln x}<(1+\varepsilon)^2,$$ 当 $m>1$ 时，取 $\varepsilon=\sqrt m-1$ 就推出了矛盾． 最后证明 $0\leqslant m\leqslant 1$ 时符合题意．只需要证明当 $m=0$ 和 $m=1$ 时命题成立即可，$m=0$ 时显然；而当 $m=1$ 时，只需要证明 $$\forall x>0,(x+1)\ln (x+1)-x\ln x\geqslant 0,$$ 而不等式左边为 $$x\ln\dfrac{x+1}x+\ln(x+1)>0,$$ 命题得证． 综上所述，$m$ 的取值范围是 $[0,1]$．