每日一题[1852]无聊的双拼

$\triangle ABC$ 中,$\dfrac 2a+\dfrac 1b=1$,$\cos(A-B)=\dfrac{2\sin A\sin B}{\sin C}$,则 $\triangle ABC$ 的周长的最小值为_______.

答案    $10$.

解析    注意到当 $A+B=\dfrac{\pi}2$ 时,题中三角等式成立,我们来证明 $A,B$ 互余.题中三角等式即\[\cos(A-B)=\dfrac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{\sin(A+B)},\]若 $A+B\ne \dfrac{\pi}2$,则\[\cos(A-B)=\dfrac{\cos(A+B)}{1-\sin(A+B)},\]而\[RHS=\dfrac{\cos^2\dfrac{A+B}2-\sin^2\dfrac{A+B}2}{\left(\cos\dfrac{A+B}2-\sin\dfrac{A+B}2\right)^2}=\dfrac{1+\tan\dfrac{A+B}2}{1-\tan\dfrac{A+B}2}>1,\]矛盾.因此 $A+B=\dfrac{\pi}2$,即 $A,B$ 互余. 此时变成经典问题:已知直线 $l$ 经过点 $(2,1)$,且与 $x$ 轴正半轴和 $y$ 轴正半轴分别交于 $A(a,0)$,和 $B(0,b)$,求 $\triangle OAB$ 周长的最小值.而这个问题的答案是 $10$,过程略.

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每日一题[1852]无聊的双拼》有5条回应

  1. jiangshuidl说:

    A+B不等于二分zhi pai后面的等式是如何变化的,RHS是设么意思

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