每日一题[1852]无聊的双拼

$\triangle ABC$ 中，$\dfrac 2a+\dfrac 1b=1$，$\cos(A-B)=\dfrac{2\sin A\sin B}{\sin C}$，则 $\triangle ABC$ 的周长的最小值为_______．

答案    $10$．

解析    注意到当 $A+B=\dfrac{\pi}2$ 时，题中三角等式成立，我们来证明 $A,B$ 互余．题中三角等式即\[\cos(A-B)=\dfrac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{\sin(A+B)},\]若 $A+B\ne \dfrac{\pi}2$，则\[\cos(A-B)=\dfrac{\cos(A+B)}{1-\sin(A+B)},\]而\[RHS=\dfrac{\cos^2\dfrac{A+B}2-\sin^2\dfrac{A+B}2}{\left(\cos\dfrac{A+B}2-\sin\dfrac{A+B}2\right)^2}=\dfrac{1+\tan\dfrac{A+B}2}{1-\tan\dfrac{A+B}2}>1,\]矛盾．因此 $A+B=\dfrac{\pi}2$，即 $A,B$ 互余． 此时变成经典问题：已知直线 $l$ 经过点 $(2,1)$，且与 $x$ 轴正半轴和 $y$ 轴正半轴分别交于 $A(a,0)$，和 $B(0,b)$，求 $\triangle OAB$ 周长的最小值．而这个问题的答案是 $10$，过程略．