每日一题[1847]估算

设 $f(x)=x^n\cdot \cos x$，$x\in\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}3\right]$ 的最大值为 $M$，则（       ）

A．当 $n=-1$ 时，$M<\sqrt 3$

B．当 $n=1$ 时，$M>\dfrac{\sqrt 3}2$

C．当 $n=2$ 时，$M<\dfrac{\sqrt 3}3$

D．当 $n=3$ 时，$M<\dfrac 12$

答案    AC．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=nx^{n-1}\cdot \cos x-x^n\cdot \sin x=x^{n-1}\cdot \cos x\cdot \left(n-x\cdot \tan x\right),$$ 函数 $g(x)=x\cdot \tan x$ 在 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}3\right]$ 上单调递增，函数值的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}{6\sqrt 3},\dfrac{\pi}{\sqrt 3}\right]$，为 $[0.3\cdots,1.8\cdots]$，因此当 $n\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}3\right]$ 上单调递减；当 $n=1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}3\right]$ 上先单调递增，再单调递减；当 $n\geqslant 2$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}3\right]$ 上单调递增．也即 $$M=\begin{cases} \dfrac {\sqrt 3}2\cdot \left(\dfrac{\pi}6\right)^n,&n\leqslant 0,\\ x_0\cos x_0,&n=1,\\ \dfrac 12\cdot \left(\dfrac{\pi}3\right)^n,&n\geqslant 2,\end{cases}$$ 其中 $x_0\tan x_0=1$． 当 $n=-1$ 时，$M=\dfrac{3}{\pi}\cdot \sqrt 3<\sqrt 3$； 当 $n=1$ 时，可以估算出 $x_0\in \left(\dfrac{\pi}4,1\right)$，于是 $M\in \left(\dfrac{\pi}4\cos 1,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$，有 $M<\dfrac{\sqrt 3}2$． 当 $n=2$ 时，$M=\dfrac{\pi^2}{18}<\dfrac{242}{441}<\dfrac{\sqrt 3}3$． 当 $n=3$ 时，$M=\dfrac{\pi^3}{54}>\dfrac{3^3}{54}=\dfrac 12$．