每日一题[1846]配平方

已知正数 $x,y$ 满足 $xy(x+2y)=2$,则 $x+y$ 的最小值为_______.

答案    $\sqrt 3$.

解析    根据题意有\[xy(x+2y)=2\iff 2y^2\cdot (x^2+2xy)\cdot (x^2+2xy)=8,\]于是\[8\leqslant \left(\dfrac{2y^2+2(x^2+2xy)}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}\cdot (x+y)^6\implies x+y\geqslant \sqrt 3,\]等号当 $2y^2=x^2+2xy$ 即 $x=\sqrt 3-1$,$y=1$ 时取得,因此所求最小值为 $\sqrt 3$.

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