每日一题[1847]估算

设 $f(x)=x^n\cdot \cos x$,$x\in\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}3\right]$ 的最大值为 $M$,则(       )

A.当 $n=-1$ 时,$M<\sqrt 3$

B.当 $n=1$ 时,$M>\dfrac{\sqrt 3}2$

C.当 $n=2$ 时,$M<\dfrac{\sqrt 3}3$

D.当 $n=3$ 时,$M<\dfrac 12$

答案    AC.

解析    函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=nx^{n-1}\cdot \cos x-x^n\cdot \sin x=x^{n-1}\cdot \cos x\cdot \left(n-x\cdot \tan x\right),\]函数 $g(x)=x\cdot \tan x$ 在 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}3\right]$ 上单调递增,函数值的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}{6\sqrt 3},\dfrac{\pi}{\sqrt 3}\right]$,为 $[0.3\cdots,1.8\cdots]$,因此当 $n\leqslant 0$ 时,函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}3\right]$ 上单调递减;当 $n=1$ 时,函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}3\right]$ 上先单调递增,再单调递减;当 $n\geqslant 2$ 时,函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}3\right]$ 上单调递增.也即\[M=\begin{cases} \dfrac {\sqrt 3}2\cdot \left(\dfrac{\pi}6\right)^n,&n\leqslant 0,\\ x_0\cos x_0,&n=1,\\ \dfrac 12\cdot \left(\dfrac{\pi}3\right)^n,&n\geqslant 2,\end{cases}\]其中 $x_0\tan x_0=1$. 当 $n=-1$ 时,$M=\dfrac{3}{\pi}\cdot \sqrt 3<\sqrt 3$; 当 $n=1$ 时,可以估算出 $x_0\in \left(\dfrac{\pi}4,1\right)$,于是 $M\in \left(\dfrac{\pi}4\cos 1,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$,有 $M<\dfrac{\sqrt 3}2$. 当 $n=2$ 时,$M=\dfrac{\pi^2}{18}<\dfrac{242}{441}<\dfrac{\sqrt 3}3$. 当 $n=3$ 时,$M=\dfrac{\pi^3}{54}>\dfrac{3^3}{54}=\dfrac 12$.

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