每日一题[1848]曲率半径

一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分,它的方程是 $y^2-x^2=1$($y\in [1,10]$),在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为(       )

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.以上答案都不对

答案    A.

解析    设清洁钢球的半径为 $r$,则其球心坐标为 $P(0,1+r)$,我们使得双曲线上的所有点到 $P$ 的距离不小于 $r$.设双曲线上的点为 $Q(x_0,y_0)$,则\[|PQ|^2\geqslant r^2\iff x_0^2+(y_0-1-r)^2\geqslant r^2\iff y_0^2-1+(y_0-1-r)^2-r^2\geqslant 0,\]整理可得\[2(y_0-r)(y_0-1)\geqslant 0\iff r\leqslant y_0,\]因此 $r$ 的最大值为 $y_0$ 的最小值,为 $1$.

备注    根据曲线的曲率半径的计算公式\[R=\left|\dfrac{\left(1+f'^2(x)\right)^{\frac 32}}{f''(x)}\right|,\]可得双曲线在底部的曲率半径为 $1$,因此清洁钢球的最大半径为 $1$.

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