每日一题[1846]配平方

已知正数 $x,y$ 满足 $xy(x+2y)=2$，则 $x+y$ 的最小值为_______．

答案    $\sqrt 3$．

解析    根据题意有 $$xy(x+2y)=2\iff 2y^2\cdot (x^2+2xy)\cdot (x^2+2xy)=8,$$ 于是 $$8\leqslant \left(\dfrac{2y^2+2(x^2+2xy)}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}\cdot (x+y)^6\implies x+y\geqslant \sqrt 3,$$ 等号当 $2y^2=x^2+2xy$ 即 $x=\sqrt 3-1$，$y=1$ 时取得，因此所求最小值为 $\sqrt 3$．