每日一题[1826]端点分析

已知函数 $f(x)=2ax+{\rm e}^x$，$g(x)=ax^2-2ax-x{\rm e}^x$，$a\in \mathbb R$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、若对任意实数 $x$，$f(x)+g(x)\leqslant 1$，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=2a+{\rm e}^x,$$ 于是当 $a\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\mathbb R$，没有单调递减区间；当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(\ln (-2a),+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(-\infty,\ln(-2a)\right)$．

2、根据题意，有

$$\forall x\in \mathbb R,{\rm e}^x+ax^2-x{\rm e}^x\leqslant 1\iff \forall x\in\mathbb R,(x-1){\rm e}^x-ax^2+1\geqslant 0,$$ 设左侧函数为 $h_a(x)$，则注意到 $h_a(0)=0$，以及 $x\to -\infty$ 的情形，其导函数 $$h_a'(x)=x\left({\rm e}^x-2a\right),$$ 函数 $h_a(x)$ 在 $x=0$ 取得最小值，因此 $a=0,\dfrac 12$ 为分界点．

情形一    $a\geqslant \dfrac 12$．此时函数 $h_a(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增，而 $h_a(0)=0$，因此当 $x<0$ 时，$h_a(x)<0$，矛盾．

情形二     $0<a<\dfrac 12$．当 $x<-\dfrac1{\sqrt a}$ 时，有

$$h_a(x)<-ax^2+1<0,$$ 矛盾．

情形三     $a\leqslant 0$．此时

$$h_a'(x)=x\left({\rm e}^x-a\right),$$ 因此函数 $h_a(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值，也为最小值 $h_a(0)=0$，符合题意． 综上所述，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．