每日一题[1827]分拆

设正整数 $a,b,cd$ 满足 $a>b>c>d$ 且 $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$,证明:$ab+cd$ 不是素数.

解析    设 $\alpha=b+d+a-c$,$\beta=b+d-a+c$,则\[\alpha\beta=a(b+d+a-\alpha)+bd=(a+b)(a+d)-a\alpha,\]于是 $\alpha\mid (a+b)(a+d)$.又 $\alpha<a+b<2\alpha$,于是 $\alpha$ 与 $a+d$ 有公因数,设为 $p_1$,则\[b-c=-(a+d)+\alpha\implies p_1\mid b-c,\]从而\[ab+cd=b(a+d)-d(b-c)\implies p_1\mid ab+cd,\]又 $p_1\leqslant a+d<ab+cd$,于是 $ab+cd$ 是合数.设 $\alpha=b+d+a-c$,$\beta=b+d-a+c$,则\[\alpha\beta=a(b+d+a-\alpha)+bd=(a+b)(a+d)-a\alpha,\]于是 $\alpha\mid (a+b)(a+d)$.又 $\alpha<a+b<2\alpha$,于是 $\alpha$ 与 $a+d$ 有公因数,设为 $p_1$,则\[b-c=-(a+d)+\alpha\implies p_1\mid b-c,\]从而\[ab+cd=b(a+d)-d(b-c)\implies p_1\mid ab+cd,\]又 $p_1\leqslant a+d<ab+cd$,于是 $ab+cd$ 是合数.

备注    事实上,$ac+bd$ 和 $ad+bc$ 也是合数,证明如下: 由 $\alpha\beta=ac+bd>a+b>\alpha$ 可得 $ac+bd$ 是合数. 由 $\alpha<a+d$,结合 $\alpha\mid (a+b)(a+d)$ 可得 $\alpha$ 与 $a+b$ 有公因数,设为 $p_2$,则\[c-d=a+b-\alpha\implies p_2\mid c-d,\]从而\[ad+bc=d(a+b)+b(c-d)\implies p_2\mid ad+bc,\]又 $p_2\leqslant a+b<ad+bc$,于是 $ad+bc$ 是合数.

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