每日一题[1825]强分离

已知 $a$ 是实数，函数 $f(x)=x-a\ln x$．

1、若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值．

2、若函数 $g(x)=-\dfrac{1+a}x$，存在 $x\in [1,{\rm e}]$，使得 $f(x)<g(x)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=1-\dfrac ax,$$ 因此若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取极值，则 $a=1$．经验证 $a=1$ 符合题意．

2、题意即

$$\exists x\in [1,{\rm e}],x-a\ln x\leqslant -\dfrac{1+a}x,$$ 也即 $$\exists x\in [1,{\rm e}],x^2+1\leqslant a(x\ln x-1),$$ 考虑到 $h(x)=x\ln x-1$ 在 $[1,{\rm e}]$ 上单调递增，且 $g(1)=-1$，$g({\rm e})={\rm e}-1$，因此函数 $h(x)$ 在 $(1,{\rm e})$ 上有唯一零点，记为 $m$．显然 $x=m$ 不符合题意，此时问题转化为 $$\exists x\in [1,m),a\leqslant \dfrac{x^2+1}{x\ln x-1},$$ 或 $$\exists x\in (m,{\rm e}],a\geqslant \dfrac{x^2+1}{x\ln x-1},$$ 记右侧函数为 $\lambda(x)$，则其导函数 $$\lambda'(x)=\dfrac{x+1}{(x\ln x-1)^2}\cdot \left[(x-1)\ln x-(x+1)\right],$$ 令 $\mu(x)=(x-1)\ln x-(x+1)$，则其导函数 $$\mu'(x)=\dfrac{x\ln x-1}x,$$ 因此函数 $\mu(x)$ 在 $[1,{\rm e}]$ 上先单调递减后单调递增，而 $$\mu(1)=\mu({\rm e})=-2<0,$$ 于是在该区间上 $\mu(x)<0$，进而 $\lambda(x)$ 单调递减．因此问题即 $$a\leqslant \max_{x\in [1,m)}\lambda(x) \lor a\geqslant \min_{x\in (m,{\rm e}]}\lambda(x),$$ 也即 $$a\leqslant \lambda(1)\lor a\geqslant \lambda({\rm e})\iff a\leqslant -2\lor a\geqslant \dfrac{{\rm e}^2+1}{{\rm e}-1}.$$