每日一题[1824]首尾呼应

求所有的正整数 nn3),存在 n 个连续的正整数,其中最大的数是其余 n1 个数的最小公倍数的因数.

解析    若 n=3,则设连续的 3 个正整数为 a,a+1,a+2,而 (a,a+1)=1,于是 (a+1,a+2)=1,于是a+2[a,a+1]a+2a(a+1)a+2a,

矛盾. 若 n4.当 n 为偶数时,考虑n1,n,,2(n1),
2(n1)[n,n1] 的因数,符合要求;当 n 为奇数时,考虑n3,n2,n1,n,,2(n2),
2(n2)[n2,n1] 的因数,符合要求. 综上所述,对不小于 4 的正整数 n,有符合要求的 n 个连续正整数.

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