求所有的正整数 n(n⩾3),存在 n 个连续的正整数,其中最大的数是其余 n−1 个数的最小公倍数的因数.
解析 若 n=3,则设连续的 3 个正整数为 a,a+1,a+2,而 (a,a+1)=1,于是 (a+1,a+2)=1,于是a+2∣[a,a+1]⟺a+2∣a(a+1)⟹a+2∣a,
矛盾. 若 n⩾4.当 n 为偶数时,考虑n−1,n,⋯,2(n−1),
则 2(n−1) 是 [n,n−1] 的因数,符合要求;当 n 为奇数时,考虑n−3,n−2,n−1,n,⋯,2(n−2),
则 2(n−2) 是 [n−2,n−1] 的因数,符合要求. 综上所述,对不小于 4 的正整数 n,有符合要求的 n 个连续正整数.