每日一题[1824]首尾呼应

求所有的正整数 $n$（$n\geqslant 3$），存在 $n$ 个连续的正整数，其中最大的数是其余 $n-1$ 个数的最小公倍数的因数．

解析    若 $n=3$，则设连续的 $3$ 个正整数为 $a,a+1,a+2$，而 $(a,a+1)=1$，于是 $(a+1,a+2)=1$，于是 $$a+2\mid [a,a+1]\iff a+2 \mid a(a+1)\implies a+2\mid a,$$ 矛盾． 若 $n\geqslant 4$．当 $n$ 为偶数时，考虑 $$n-1,n,\cdots,2(n-1),$$ 则 $2(n-1)$ 是 $[n,n-1]$ 的因数，符合要求；当 $n$ 为奇数时，考虑 $$n-3,n-2,n-1,n,\cdots,2(n-2),$$ 则 $2(n-2)$ 是 $[n-2,n-1]$ 的因数，符合要求． 综上所述，对不小于 $4$ 的正整数 $n$，有符合要求的 $n$ 个连续正整数．