每日一题[1788]张开双臂

已知方程 $|x-2n|=k\sqrt x$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）在区间 $(2n-1,2n+1]$ 上有两个不相等的实数解，则 $k$ 的取值范围是（        ）

A．$(0,+\infty)$

B．$\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right]$

C．$\left(\dfrac1{2n+1},\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right]$

D．以上答案均不正确

答案    B．

解析    题中方程即

$$k=\left|\sqrt x-\dfrac{2n}{\sqrt x}\right|,$$ 记右侧函数为 $f(x)$，则 $f(x)$ 在 $\left(0,\sqrt{2n}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt {2n},+\infty\right)$ 上单调递增，且 $$f(2n-1)=\dfrac{2n}{\sqrt{2n-1}}-\sqrt{2n-1}>\sqrt{2n+1}-\dfrac{2n}{\sqrt{2n+1}}=f(2n+1),$$ 因此所求取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right]$．