每日一题[1789]一决胜负

甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得 $1$ 分,负者得 $0$ 分;当其中一人的得分比另一人的多 $2$ 分时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过 $20$ 次,即经 $20$ 次比赛,得分多者赢得这场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为 $p$($0<p<1$),乙获胜的概率为 $q=1-p$.假定各次比赛的结果是相互独立的,比赛经 $\xi$ 次结束,求 $\xi$ 的期望 $E(\xi)$ 的变化范围.

答案    $\left(2,\dfrac{1023}{256}\right]$.

解析    以 $p(\xi=k)$ 记比赛经 $k$ 次结束的概率,若 $k$ 为奇数,则甲乙得分之差亦为奇数,因而有 $p(\xi=k)=0$.考虑连续两次比赛的结果:

情形一    甲连胜或乙连胜两次,称为有胜负的两次,此结果出现的概率为 $p^2+q^2$;

情形二    甲乙各胜一次,称为无胜负的两次,此结果有两种情况,故出现的概率为 $2pq$. 比赛经 $k$ 次结束,$k$ 必为偶数,则 $1,2$ 两次,$3,4$ 两次,$\cdots$,$k-3,k-2$ 两次均未分胜负.若 $k\ne 20$,则第 $k-1,k$ 为有胜负的两次,从而有$$p(\xi=k)=(2pq)^{\frac k2-1}(p^2+q^2).$$综上所述,有$$E(\xi)=(p^2+q^2)\sum\limits_{i=1}^9{2i(2pq)^{i-1}}+20(2pq)^9,$$ 令 $x=2pq$,则 $p^2+q^2=1-x$,所以\[\begin{split} E(\xi)&=(1-x)\sum\limits_{i=1}^9{2ix^{i-1}}+20x^9\\ &=2(1-x)\left(\sum_{i=1}^9x^i\right)'+20x^9,\\ &=2(1-x)\left(\dfrac{x(1-x^9)}{1-x}\right)'+20x^9\\ &=\dfrac{2(1-x^{10})}{1-x},\end{split}\]而 $x$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right]$,因此所求取值范围是 $\left(2,\dfrac{1023}{256}\right]$.

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