每日一题[1787]抛物线上的共圆

设 $0<a<b$,过两定点 $A(a,0)$ 和 $B(b,0)$ 分别引直线 $l$ 和 $m$,使之与抛物线 $y^2=x$ 有四个不同的交点,当这四点共圆时,求这种直线 $l$ 与 $m$ 的交点 $P$ 的轨迹.

答案    直线 $x=\dfrac{a+b}2$ 除去与 $y=0$ 和 $y^2=x$ 的交点.

解析    根据抛物线上四点共圆的有关结论,可得直线 $l$ 与直线 $m$ 的斜率互为相反数,设\[\begin{cases} l:x=ty+a,\\ m:x=-ty+b,\end{cases}\implies \begin{cases} x=\dfrac{a+b}2,\\ y=\dfrac{b-a}{2t},\end{cases}\]因此所求交点 $P$ 的轨迹是 $x=\dfrac{a+b}2$,其中 $y\ne 0,\pm \sqrt{\dfrac{a+b}2}$.

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