每日一题[1758]降次

设 $a,b,c$ 为正实数，证明：$(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)\geqslant (a+b+c)^3$．

解析    由于 $a^2-1$ 与 $a^3-1$ 始终同号，于是

$$(a^2-1)(a^3-1)\geqslant 0\iff a^5-a^2+3\geqslant a^3+2,$$ 因此只需要证明 $$(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)\geqslant (a+b+c)^3,$$ 根据赫尔德不等式，有 $$LHS=(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3)\geqslant (a+b+c)^3=RHS,$$ 命题得证．

备注    也可以展开为

$$a^3b^3c^3+\sum_{\rm cyc}\left(3a^3+2a^3b^3\right)\geqslant \sum_{\rm cyc}\left(3a^2b+3ab^2+2abc\right),$$ 由 $$\begin{cases}\sum_{\rm cyc}\left( a^3+a^3b^3+1\right)\geqslant \sum_{\rm cyc}3a^2b,\\ \sum_{\rm cyc}\left( b^3+a^3b^3+1\right)\geqslant \sum_{\rm cyc}3ab^2,\\ a^3b^3c^3+a^3+b^3+c^3+1+1\geqslant 6abc,\end{cases}$$ 即得．