设 a,b,c 为正实数,证明:(a5−a2+3)(b5−b2+3)(c5−c2+3)⩾(a+b+c)3.
解析 由于 a2−1 与 a3−1 始终同号,于是(a2−1)(a3−1)⩾0⟺a5−a2+3⩾a3+2,
因此只需要证明(a3+2)(b3+2)(c3+2)⩾(a+b+c)3,
根据赫尔德不等式,有LHS=(a3+1+1)(1+b3+1)(1+1+c3)⩾(a+b+c)3=RHS,
命题得证.
备注 也可以展开为a3b3c3+∑cyc(3a3+2a3b3)⩾∑cyc(3a2b+3ab2+2abc),
由{∑cyc(a3+a3b3+1)⩾∑cyc3a2b,∑cyc(b3+a3b3+1)⩾∑cyc3ab2,a3b3c3+a3+b3+c3+1+1⩾6abc,
即得.