每日一题[1758]降次

a,b,c 为正实数,证明:(a5a2+3)(b5b2+3)(c5c2+3)(a+b+c)3

解析    由于 a21a31 始终同号,于是(a21)(a31)0a5a2+3a3+2,因此只需要证明(a3+2)(b3+2)(c3+2)(a+b+c)3,根据赫尔德不等式,有LHS=(a3+1+1)(1+b3+1)(1+1+c3)(a+b+c)3=RHS,命题得证.

备注    也可以展开为a3b3c3+cyc(3a3+2a3b3)cyc(3a2b+3ab2+2abc),{cyc(a3+a3b3+1)cyc3a2b,cyc(b3+a3b3+1)cyc3ab2,a3b3c3+a3+b3+c3+1+16abc,即得.

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