每日一题[1759]切割线放缩

已知 $a,b,c$ 皆为正实数,且 $a+b+c=1$,求 $\sqrt{3 a^{2}+1}+\sqrt{3 b^{2}+1}+\sqrt{3 c^{2}+1}$ 的整数部分.

答案    $3$.

解析    根据切割线放缩,可得\[\dfrac{\sqrt 3}2\left(x-\dfrac 13\right)+\dfrac2{\sqrt 3}\leqslant \sqrt{3x+1}<x+1,\]因此\[3<2\sqrt 3\leqslant M<4,\]因此 $M$ 的整数部分是 $3$.

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