设 $ a,b,c $ 为正实数，证明：$ (a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)\geqslant (a+b+c)^3 $．
解析 由于 $a^2-1$ 与 $a^3-1$ 始终同号，于是\[(a^2-1)(a^3-1)\geqslant 0\iff a^5-a^2+3\geqslant a^3+2,\]因此只需要证明\[(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)\geqslant (a+b+c)^3,\]根据赫尔德不等式，有\[LHS=(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3)\geqslant (a+b+c)^3=RHS,\]命题得证．
备注 也可以展开为\[a^3b^3c^3+\sum_{\rm cyc}\left(3a^3+2a^3b^3\right)\geqslant \sum_{\rm cyc}\left(3a^2b+3ab^2+2abc\right),\]由\[\begin{cases}\sum_{\rm cyc}\left( a^3+a^3b^3+1\right)\geqslant \sum_{\rm cyc}3a^2b,\\ \sum_{\rm cyc}\left( b^3+a^3b^3+1\right)\geqslant \sum_{\rm cyc}3ab^2,\\ a^3b^3c^3+a^3+b^3+c^3+1+1\geqslant 6abc,\end{cases}\]即得．