每日一题[1757]根式和分式

设 $0\leqslant x,y\leqslant1$，证明：$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leqslant\dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}$．

解析    题中不等式即 $$\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leqslant\dfrac{4}{1+xy},$$ 根据均值不等式，有 $$\dfrac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leqslant\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2},$$ 因此只需要证明 $$\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\leqslant\dfrac{2}{1+xy},$$ 即 $$2(1+x^2)(1+y^2)-(1+xy)(2+x^2+y^2\geqslant 0,$$ 也即 $$(1-xy)(x-y)^2\geqslant 0,$$ 因此原不等式得证．