若实数 x,y 满足 x−4√y=2√x−y,则 x 的取值范围是_______.
答案 {0}∪[4,20].
解析 令 √y=a,√x−y=b(a,b⩾0),此时 x=y+(x−y)=a2+b2,且条件中等式化为 a2+b2−4a=2b,从而 a,b 满足方程(a−2)2+(b−1)2=5,
其中 a,b⩾0,如图所示.
在 aOb 平面内,点 (a,b) 的轨迹是以 (1,2) 为圆心,√5 为半径的圆在 a,b⩾0 的部分,即点 O 与弧 ACB 的并集.因此 √a2+b2 的取值范围是 {0}∪[2,2√5],进而 x 的取值范围是 {0}∪[4,20].
2013全国高联一试第七题
记得好像是15还是16年高联一试的一道填空题