每日一题[1725]容斥原理

将 $6$ 个数 $2,0,1,9,20,19$ 按任意次序排成一行，拼成一个 $8$ 位数（首位不为 $0$），则产生的不同的 $8$ 位数的个数为_______．

答案    $498$．

解析    $6$ 个数组成的首位不为 $0$ 的排列有 $5\cdot 5!=600$ 个．记 $A$ 为 $2$ 后面为 $0$，$B$ 为 $1$ 后面为 $9$，用 $n(X)$ 表示符合 $X$ 的首位不为 $0$ 的排列数，则

$$\begin{cases} n(A)=5!=120,\\ n(B)=4\cdot 4!=96,\\ n(A\cap B)=4!=24,\end{cases}$$ 于是所求个数为 $$600-n(A\cup B)+\dfrac{n(A\cup B)}2-\dfrac{n(A\cap B)}4=498.$$