每日一题[1719]极坐标

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{2}=1$，过 $F(2,0)$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点，点 $C$ 在直线 $x=3$ 上，若 $\triangle ABC$ 为正三角形，则 $\triangle ABC$ 的面积为（       ）

A．$\sqrt 3$

B．$\dfrac32$

C．$\dfrac{3\sqrt 3}2$

D．$\dfrac92$

答案    C．

解析    以 $F$ 为极点建立极坐标系，设 $A(\theta:m)$，$B(\theta-\pi:n)$，则 $AB$ 的中点 $M\left(\theta:\dfrac{m-n}2\right)$，于是根据题意，有

$$1-\dfrac{m-n}2\cdot \cos\theta=\dfrac{\sqrt 3}2\cdot (m+n)\cdot \sin\theta,$$ 于是根据椭圆的焦半径公式 $II$，有 $$2-\left(\dfrac{2}{\sqrt 6+2\cos\theta}-\dfrac{2}{\sqrt 6-2\cos\theta}\right)\cos\theta=\sqrt 3 \left(\dfrac{2}{\sqrt 6+2\cos\theta}+\dfrac{2}{\sqrt 6-2\cos\theta}\right)\sin\theta,$$ 解得 $\sin\theta=\dfrac{\sqrt 2}2$，因此 $\triangle ABC$ 的边长为 $\sqrt 6$，面积为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$．