每日一题[1718]翻译

若对任意 $c\in\mathbb R$,存在 $a,b$,使得 $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(c)$ 成立,则称函数 $f(x)$ 满足性质 $T$,下列函数不满足性质 $T$ 的有(        )

A.$f(x)=x^3-3x^2+3x$

B.$f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$

C.$f(x)={\rm e}^{x+1}$

D.$f(x)=\sin(2x+1)$

答案    A.

解析    函数 $f(x)$ 具有性质 $T$ 也即函数 $f(x)$ 在任何一处的切线都可以经过平移后与 $f(x)$ 的图象至少有 $2$ 个公共点.而对于选项 A,注意到 $f(x)=(x-1)^3+1$,在 $x=1$ 处的切线不符合性质 $T$ 的定义.其他选项中的函数均具有性质 $T$.

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