每日一题[1718]翻译

若对任意 $c\in\mathbb R$,存在 $a,b$,使得 $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(c)$ 成立,则称函数 $f(x)$ 满足性质 $T$,下列函数不满足性质 $T$ 的有(        )

A.$f(x)=\sin(2x+1)$

B.$f(x)=x^3-3x^2+3x$

C.$f(x)={\rm e}^{x+1}$

D.$f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$

答案    ABD.

解析  题中等式即 $f(a)-f'(c)a=f(b)-f'(c)b$,记 $g(x)=f(x)-f'(c)x$,则题意即当 $f'(c)$ 取遍 $f(x)$ 的导函数值域时,$g(x)$ 总存在两个不同的自变量对应相同的函数值.由于 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=f'(x)-f'(c),g''(x)=f''(x),\]于是若 $f''(x)$ 在 $\mathbb R$ 上保号,那么 $x=c$ 是 $g'(x)$ 的变号零点,于是 $g(x)$ 在 $x=c$ 两侧的单调性不一致,因此函数 $f(x)$ 具有性质 $T$.若 $f''(x)$ 有唯一变号零点 $x_0$,那么取 $c=x_0$,那么 $g'(x)$ 在 $\mathbb R$ 上保号,进而函数 $g(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调,因此函数 $f(x)$ 不具有性质 $T$.

选项 A  $f'(x)=2\cos(2x+1)$,$f''(x)=-4\sin(2x+1)$,取 $c=-\dfrac 12$,则 $g(x)=\sin(2x+1)-2x$,此时 $g'(x)=2\cos(2x+1)-2$,因此 $g(x)$ 单调递减,函数 $f(x)$ 不具有性质 $T$.

选项 B  $f'(x)=3x^2-6x+3$,$f''(x)=6x-6$,取 $c=1$,则 $g(x)=(x-1)^3$,此时 $g(x)$ 单调递减,函数 $f(x)$ 不具有性质 $T$.

选项 C   $f'(x)={\rm e}^{x+1}$,$f''(x)={\rm e}^{x+1}$,于是函数 $f(x)$ 具有性质 $T$.

选项 D  $f'(x)=\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}$,$f''(x)=\dfrac{2(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}$,取 $c=\dfrac1{\sqrt 3}$,则\[g(x)=\dfrac{3\sqrt 3(x^3+x)+8}{x^2+1},g'(x)=\dfrac{\left(\sqrt 3x-1\right)^2\left(3x^2+2\sqrt 3x+9\right)}{8\sqrt 3(1+x^2)^2},\]因此函数 $g(x)$ 单调递增,函数 $f(x)$ 不具有性质 $T$.

综上所述,选项 ABD 不具有性质 $T$.

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