每日一题[1707]斜坐标系

已知 $\triangle ABC$ 内有一点 $P$，满足：$AP$ 的中点为 $Q$，$BQ$ 的中点为 $R$，$CR$ 的中点为 $P$．设 $\overrightarrow {AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow {AC}=\overrightarrow b$，如图．用 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 表示 $\overrightarrow {AP}=$ _______．

答案    $\dfrac 27\overrightarrow a+\dfrac 47\overrightarrow b$．

解析    设 $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$，记为 $P(x,y)$，则根据题意，有 $Q\left(\dfrac x2,\dfrac y2\right)$，$R\left(\dfrac x4+\dfrac 12,\dfrac y4\right)$，进而有

$$\left(\dfrac x8+\dfrac 14,\dfrac y8+\dfrac 12\right)=(x,y)\iff (x,y)=\left(\dfrac 27,\dfrac 47\right).$$