每日一题[1699]迭代函数

设实函数 $f(x)$ 满足 $f(f(x))=x-1$，问是否存在整数 $n$，使 $f(n)$ 也为整数？若存在，求出所有 $n$；若不存在，说明理由．

解析    考虑 $f(f(x))=x-1$，对正整数 $k$，可以得到 $f(x)$ 的 $k$ 次迭代函数

$$f_k(x)=\begin{cases} x-\dfrac k2,&2\mid k,\\ f(x)-\dfrac{k-1}2,&2\nmid k.\end{cases}$$ 若 $f(n)=m$ 且 $n,m\in\mathbb Z$，则必然存在正偶数 $k_1$ 和正奇数 $k_2$，使得 $$n-\dfrac {k_1}2=m-\dfrac{k_2-1}2,$$ 此时有 $f_{k_1}(n)=f_{k_2}(n)$，进而 $f_{k_1+k_2}(x)=f_{2k_2}(x)$，也即 $$m-\dfrac{k_1+k_2-1}2=n-\dfrac{2k_2}2,$$ 两式综合，可得 $k_1=k_2$，矛盾．因此不存在符合题意的整数 $n$．