每日一题[1700]奇偶性

设 $f:\{1,2,\cdots,2019\}\to \{-1,1\}$,求证:$\displaystyle \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2019}f(i)f(j)\ne 0$.

解析    由于 $\mathop{\rm C}\nolimits_{2019}^2=2019\cdot 1009$ 为奇数,因此 $\displaystyle \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2019}f(i)f(j)$ 是奇数个奇数($1$ 或 $-1$)的和,必然为奇数,不可能为 $0$,命题得证.

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