每日一题[1698]割线放缩

已知非负实数 $x,y$ 满足 $x+y\leqslant \sqrt{\dfrac{2018}{2019}}$,求 $\sqrt{2018-2019x^2}+\sqrt{2018-2019y^2}$ 的最小值.

答案    $\sqrt{2018}$.

解析    考虑 $f(x)=\sqrt{2018-2019x^2}$ 在区间 $\left[0,\sqrt{\dfrac{2018}{2019}}\right]$ 上的割线,有\[f(x)\geqslant \dfrac{f\left(\sqrt{\dfrac{2018}{2019}}\right)-f(0)}{\sqrt{\dfrac{2018}{2019}}}x+f(0),\]等号当 $x=0$ 以及 $x=\sqrt{\dfrac{2018}{2019}}$ 时取得,因此\[f(x)+f(y)\geqslant \sqrt{2018},\]等号当 $(x,y)=\left(\sqrt{\dfrac{2018}{2019}},0\right)$ 或 $(x,y)=\left(0,\sqrt{\dfrac{2018}{2019}}\right)$ 时取得,因此所求最小值为 $\sqrt{2018}$.

备注    考虑 $f(x)=\sqrt{2018-2019x^2}$ 在 $x=\dfrac 12\sqrt{\dfrac{2018}{2019}}$ 处的切线,有\[f(x)\leqslant f\left(\dfrac 12\sqrt{\dfrac{2018}{2019}}\right)+f'\left(\dfrac 12\sqrt{\dfrac{2018}{2019}}\right)\cdot \left(x-\dfrac 12\sqrt{\dfrac{2018}{2019}}\right),\]因此\[f(x)+f(y)\leqslant 2f\left(\dfrac 12\sqrt{\dfrac{2018}{2019}}\right)=\sqrt{6054},\]因此当 $x=y=\dfrac 12\sqrt{\dfrac{2018}{2019}}$ 时,所求代数式取得最大值 $\sqrt{6054}$.

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