每日一题[1699]迭代函数

设实函数 $f(x)$ 满足 $f(f(x))=x-1$,问是否存在整数 $n$,使 $f(n)$ 也为整数?若存在,求出所有 $n$;若不存在,说明理由.

解析    考虑 $f(f(x))=x-1$,对正整数 $k$,可以得到 $f(x)$ 的 $k$ 次迭代函数\[f_k(x)=\begin{cases} x-\dfrac k2,&2\mid k,\\ f(x)-\dfrac{k-1}2,&2\nmid k.\end{cases}\]若 $f(n)=m$ 且 $n,m\in\mathbb Z$,则必然存在正偶数 $k_1$ 和正奇数 $k_2$,使得\[n-\dfrac {k_1}2=m-\dfrac{k_2-1}2,\]此时有 $f_{k_1}(n)=f_{k_2}(n)$,进而 $f_{k_1+k_2}(x)=f_{2k_2}(x)$,也即\[m-\dfrac{k_1+k_2-1}2=n-\dfrac{2k_2}2,\]两式综合,可得 $k_1=k_2$,矛盾.因此不存在符合题意的整数 $n$.

此条目发表在每日一题分类目录。将固定链接加入收藏夹。

发表评论