每日一题[1640]定义与焦半径

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,$F_1,F_2$ 分别是双曲线 $x^2-\dfrac {y^2}{b^2}=1$($b>0$)的左、右焦点,过点 $F_1$ 作圆 $x^2+y^2=1$ 的切线,与双曲线左、右两支分别交于 $A,B$.若 $|F_2B|=|AB|$,则 $b$ 的值是_______.

答案    $1+\sqrt 3$.

解析    记双曲线的半焦距为 $c$,根据双曲线的焦半径公式 $\tt II$,有\[|AF_1|=\dfrac{b^2}{c\cdot \dfrac bc+1},\]又根据双曲线的定义,有\[|AF_1|=|BF_1|-|BA|=|BF_1|-|BF_2|=2,\]于是\[\dfrac{b^2}{b+1}=2\implies b=1+\sqrt 3.\]

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