每日一题[1639]同余方程

设 $a_n=1+2+\cdots+n$,$n \in\mathbb N^+$,$S_m=a_1+a_2+\cdots+a_m$,$m=1,2,\cdots$,则 $S_1,S_2,\cdots,S_{2017}$ 中能被 $2$ 整除但不能被 $4$ 整除的数的个数是_______.

答案    $252$.

解析    根据题意,有\[a_n=\dfrac{n(n+1)}2=\dfrac 16(n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)),\]于是 $S_m=\dfrac 16m(m+1)(m+2)$,因此\[S_m\equiv 2\pmod 4\iff m(m+1)(m+2)\equiv 4\pmod 8\iff m\equiv 3\pmod 8,\]因此所求个数为 $\left[\dfrac{2017}8\right]=252$.

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