每日一题[1638]三角方程

若 $\sin x \sin 2x \sin 3x+\cos x\cos 2x\cos 3x=1$，则 $x=$_______．

答案    $k\pi$，$k\in\mathbb Z$．

解析    根据题意，有 $$\begin{split} 1&=\sin x \sin 2x \sin 3x+\cos x\cos 2x\cos 3x\\ &\leqslant |\sin x \sin 2x \sin 3x|+|\cos x\cos 2x\cos 3x|\\ &\leqslant |\sin x\sin 2x|+|\cos x\cos 2x|\\ &=\max\{|\cos x|,|\cos 3x|\}\\ &\leqslant 1,\end{split}$$ 等号当 $$\begin{cases} \sin x\sin 2x\sin 3x\geqslant 0,\\ \cos x\cos 2x\cos 3x\geqslant 0,\\ |\sin x|=0\lor |\sin x|=1,\\ |\cos x|=0\lor|\cos x|=1,\\ |\cos x|=1\lor |\cos 3x|=1\end{cases}$$ 时取得，因此所求 $x=k\pi$，$k\in\mathbb Z$．