每日一题[1637]从小到大

求满足 $x^3-x=y^7-y^3$ 的所有质数 $x$ 和 $y$.

答案    $(x,y)=(5,2)$.

解析    根据题意,有\[x(x+1)(x-1)=y^3(y-1)(y+1)(y^2+1).\]

情形一     $y=2$.此时\[x(x+1)(x-1)=4\cdot 5\cdot 6,\]解得 $x=5$.

情形二     $y=3$.此时\[x(x+1)(x-1)=2160,\]而\[11\cdot 12\cdot 13=1716<2160<2184=12\cdot 13\cdot 14,\]因此该方程无正整数解.

情形三     $y\geqslant 5$.此时有\[\begin{split} y^7-y^3&\geqslant 5y^6-y^3\\ &\geqslant y^6+20y^5-y^3\\ &\geqslant y^6+6y^5+70y^4-y^3\\ &\geqslant y^6+6y^5+15y^4+274y^3\\ &\geqslant y^6+6y^5+15y^4+20y^3+15y^2+6y+1\\ &=(y+1)^6,\end{split}\]因此 \[x^3>x^3-x=y^7-y^3>(y+1)^6\implies x>y^2+2y+1,\]这与 $x\mid y^3(y-1)(y+1)(y^2+1)$ 矛盾. 综上所述,满足条件的所有质数 $(x,y)=(5,2)$.

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