每日一题[1631]“不动点”

设 $f_1(x)=\sqrt {x^2+32}$，$f_{n+1}(x)=\sqrt {x^2+\dfrac {16}{3}f_n(x)}$，$n=1,2,\cdots$．对每个 $n$，求 $f_{n}(x)=3x$ 的实数解．

答案    $x=2$．

解析    考虑 $f_1(x)=3x$ 的解为 $x=2$，此时 $f_1(2)=6$，因此 $f_2(2)=6$，以此类推，可得 $f_n(2)=6$，因此 $x=2$ 是方程 $f_n(x)=3x$ 的实数解． 下面证明方程 $f_n(x)=3x$ 没有 $x=2$ 以外的实数解，显然只需要考虑 $x>0$ 的情形．

情形一    $x>2$．此时有 $$f_1(x)=\sqrt{x^2+32}<3x<\dfrac 32x^2,$$ 于是 $$f_2(x)<\sqrt{x^2+\dfrac{16}{3}\cdot \dfrac 32x^2}=3x<\dfrac 32x^2,$$ 以此类推，可得 $f_n(x)<3x$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

情形二    $0<x<2$．此时有 $$f_1(x)=\sqrt{x^2+32}>3x,$$ 于是 $$f_2(x)>\sqrt{x^2+\dfrac{16}{3}\cdot 3x}=3x\cdot \sqrt{\dfrac19+\dfrac{16}{9x}}>3x,$$ 以此类推，可得 $f_n(x)>3x$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 综上所述，$f_n(x)=3x$ 的实数解为 $x=2$．