每日一题[1632]固步自封

设数列 $\{a_n\}$ 满足:$|a_{n+1}-2a_n|=2$,$|a_n|\leqslant 2$,$n=1,2,3,\cdots.$ 证明:如果 $a_1$ 为有理数,则从某项后 $\{a_n\}$ 为周期数列.

解析    设 $a_n=\dfrac{b_n}{m}$($n\in\mathbb N^{\ast}$),其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $b_1\in\mathbb Z$.根据题意,有\[\left|\dfrac{b_{n+1}}m-\dfrac{2b_n}m\right|=2\iff |b_{n+1}-2b_n|=2m\iff b_{n+1}=2b_n\pm 2m,\]于是 $b_n\in\mathbb Z$($n\in\mathbb N^{\ast}$),由 $|a_n|\leqslant 2$ 可得\[-2m\leqslant b_n\leqslant 2m,\]因此 $2b_n+2m$ 和 $2b_n-2m$ 有且仅有一个在 $[-2m,2m]$ 内.考虑到区间 $[-2m,2m]$ 内的整数为有限个,因此必然从某项开始 $\{b_n\}$ 为周期数列,此时 $\{a_n\}$ 也为周期数列.

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